一只水瓶为什么能在空中翻过来，还稳稳站住？
用一个可调参数的二维模型，看水怎样改变转动惯量，让瓶子在空中转得更慢。附可交互模拟。
扔水瓶有点像一场小型的“空中配平”。你先给瓶子一个向上的速度和一个自转；它离手后，整只瓶子的质心继续走抛物线，瓶内的水却会在瓶身里跑动。于是，瓶子下落时可能已经不像刚出手时那样转得快。
这件事最妙的地方在于：水没有凭空刹住瓶子的旋转，而是改变了质量分布。 水从瓶底向瓶身其他位置铺开后，系统绕质心的转动惯量通常增大。忽略空气和其他外部力矩，角动量近似守恒：I(t) × ω(t) ≈ I₀ × ω₀。I 变大，角速度 ω 就变小。研究者用高速摄影比较过普通水瓶、装有可移动网球的瓶子和内部质量固定的瓶子：前两者的旋转明显放慢，固定质量的瓶子则基本匀速转动。Dekker 等，2018
但“转慢了”还不等于“落稳了”。瓶底需要在恰当的时刻、以合适的角度碰到地面；碰到地面之后，还要处理冲击和反弹。后续的高速摄影研究指出，飞行中的水流冲击和落地时水对反弹的抑制都可能影响结果。Morales 等，2025
点击图片，打开完整的交互模拟：左边调出手高度、角度、速度、装水量和瓶形，右边看飞行轨迹与读数。它在单独页面里全宽运行。
把一次扔瓶拆成几个可调的量
我做了一个可交互的二维模拟，现在也可以切换“瓶底正立”和“瓶盖倒立”。出手时需要输入五类量：
| 参数 | 它主要改变什么 |
|---|---|
瓶身最低点离地高度 h |
瓶子还有多少下落空间；高度增加通常会增加滞空时间 |
瓶身初始角度 θ₀ |
瓶底、瓶口与地面的起始朝向 |
离手速度 v 与方向 φ |
v sin φ 控制向上抛的分量，v cos φ 控制水平位移 |
初始自转 ω₀ |
单位时间内转过多少角度，和抛出速度是两个独立输入 |
| 装水比例、瓶形与瓶盖宽度 | 水能怎样重新分布，以及质心、转动惯量、触地后支撑范围 |
只看质心的竖直运动，公式是 y(t)=y₀+v sin φ·t−gt²/2。但瓶身什么时候碰地，不能只拿质心高度等于零来算：倾斜瓶子的瓶口、瓶侧或瓶底会先碰到地面。程序每一步都检查整只瓶子的轮廓，找到首次触地的一刻。
为什么不是水越多越好？
空瓶没有流动的水，满瓶也几乎没有水能在瓶内重新分布；两者都缺少明显的“空中减速”。装一点水以后，水能移动，但它的质量可能还不够大。水量继续增加，减速效应变强；太满时，可供重新分布的空间又缩小。这就是“中间有一个有利范围”的直觉来源。2018 年的研究用其简化模型分析过填充比例与减速、质心位置的关系；具体数值取决于瓶子和模型条件，不能当成所有瓶子的固定答案。Dekker 等，2018
在这个演示的默认条件下，直筒瓶高 23 厘米、容量 500 毫升、空瓶重 25 克，瓶盖直径 2.8 厘米；最低点从离地 52 厘米处出手，瓶身初始角度 110°，速度 2.8 米/秒、方向 67°，自转 2.1 转/秒。模型得到以下结果：
| 装水比例 | 首次触地姿态 | 触地时角速度 / 初始角速度 |
|---|---|---|
| 0% | 瓶底先碰地，偏离竖直约 88° | 100% |
| 20% | 瓶底先碰地，偏离竖直约 56° | 57% |
| 30% | 瓶底先碰地，偏离竖直约 2° | 45% |
| 40% | 瓶底先碰地，偏离竖直约 12° | 41% |
| 100% | 瓶底先碰地，偏离竖直约 88° | 100% |
这些是该模型在这一组出手参数下的计算值，不是实验成功率。例如 40% 的自转更慢，但并没有刚好在触地时转正；“转得越慢越容易成功”因而也不能单独成立。出手角度和滞空时间必须一起看。另有研究专门比较过初始角度、线速度、角速度、水量和出手高度对直立落地的影响。Gu 等，2021
换个瓶形，有什么新问题？
演示里有直筒、收肩、宽底和细腰四种封闭容器。为了公平比较，它们的高度、容量和空瓶质量相同。宽底瓶的支撑范围较大，静止时较不容易侧翻；收肩瓶和细腰瓶则改变了水与塑料的质量分布。在默认的 30% 装水、同一出手条件下，模型算出的首次触地偏角分别约为：直筒 2°、收肩 8°、宽底 1°、细腰 13°。这说明外形会改变同一套出手动作的落地时机，但这些数值不能直接排成真实瓶子的“胜率榜”。
尤其是细腰或窄口：水在真实容器里可能出现喷流、撞壁、分层和晃动。页面只给水一个经验性的“重新分布时间”，四种外形用同一时间参数，因此它展示的是几何与质量分布的影响，没有真正求解各瓶形中的流体运动。已有数值研究也采用简化水运动来分析翻瓶，这类模型适合先抓主要机制，仍需要实验校准。Nassoy 等，2024
能不能让它倒立在瓶盖上？
可以试，但多了一个苛刻条件：支撑它的不是宽瓶底，而是小瓶盖。 空中部分仍然要调整角度、初始自转和滞空时间，让瓶盖先触地、瓶身接近倒立；触地之后，水若沉到瓶盖一端，会把质心拉低，较低的质心有利于静态抗倾。与此同时，小瓶盖的支撑范围很窄，剩余自转和着地反弹更容易把瓶子带倒。这是从几何与力学推导出的分析，前面引用的翻瓶实验主要研究瓶底落地，没有给这个瓶盖玩法提供经验证的成功率。
一个简单的静态估算是 临界倾角 ≈ arctan(瓶盖半径 / 质心离瓶盖的高度)。它只回答：假设瓶子已经静止、水也沉到瓶盖一端，质心的投影在什么倾角下会越过支撑边缘。若水仍在流动，质心也会变，真实临界角便未必等于这个数。
可以在页面点击“倒立示例”：从正立出手，装水 30%，初始自转 1.5 转/秒，其他条件保持默认。模型算出瓶盖先碰地，触地时偏离完全倒立约 4.3°；2.8 厘米瓶盖对应的理想静态抗倾角约 13.5°。乍看姿态不错，但它触地时仍以约 3.9 米/秒下落，且保留约 4.2 弧度/秒的自转，页面不能断言它能倒立站住。如果在模型里把平整瓶盖从 2.8 厘米加宽到 4.0 厘米，静态抗倾角约从 13.5° 变成 20.7°；瓶颈形状、转动惯量和触地角度也会同时改变，所以这不是单独调整了一个“成功率旋钮”。水对触地反弹的作用确实值得关注，但需要实拍或更完整的碰撞模型来判断。Morales 等，2025
可以自己做的小实验
找几只带盖的空塑料瓶，先只用同一种瓶子和同一种出手动作，分别装入 0%、20%、30%、40%、60% 的水。手机固定在侧面录像，瓶身贴一条有颜色的直线，逐帧记录瓶身角度与瓶底第一次碰桌面的画面。每组重复多次，分开记录三件事：触地前转了多少、第一次碰到哪里、最后有没有站稳。前两项可以和页面比较；第三项则能直接看出这个飞行模型没有覆盖的碰撞过程。
再把装水比例固定，改变出手高度或瓶形。倒立实验可另外记录瓶盖是否真的先碰地、触地后弹起几次、最终有没有站住；换不同宽度且顶面平整的瓶盖，比较结果。每次只动一个量，观察变化会清楚得多。若用敞口杯子，水会洒出，系统质量和运动方式都变了；这个演示不适用于敞口杯。
模型说明
页面将瓶身分为 72 个轴向切片，按局部半径计算空瓶和水的质量、质心及转动惯量。起初水从底部装起；离手后，程序让水的轴向分布逐渐过渡到“沿瓶身摊开”的状态，并用 Iω≈常量 更新转速。质心按抛物线运动，每 1/300 秒检查一次瓶身轮廓与地面是否相交。瓶盖被当作平整圆盘，倒立静态估算假设水最终沉到瓶盖一端。模型没有模拟三维晃动、真实水面、喷流撞壁、空气阻力和落地后的碰撞。因此页面的“接近目标朝向、目标端先碰地”只能说明首次触地姿态有利，不能预测最终能否站稳。
参考研究：Water bottle flipping physics, 2018 · Dynamic Stabilization of Water Bottles, 2021 · A simple numerical model of the water bottle flipping experiment, 2024 · Fluid Motion Makes the Bottle-Flip Challenge Mechanically Unintuitive But Viable, 2025